So, nachdem ich die Kontakte mit Kontaktspray behandelt habe, lief es erst noch etwas holprig, aber seit 5 Tagen habe ich täglich mehrfach einen Kaltstart durchgespielt, dazu zwei Einkaufsfahrten mit jeweils Zwischenstopps absolviert. Ergebnis: Die Klima ist immer ohne Aktionen am Schalter, also beim Starten Gebläse und Klima schon eingeschaltet, innerhalb 10 bis 20 Sekunden "angesprungen".
Wobei die Reihenfolge immer so war: Beim Kaltstart wird erst nach ca. 10 Sekunden die Leerlaufdrehzahl erhöht, das fällt beim Warmstart weg, da ist die die Drehzahl gleich erhöht bzw. wird beim Einschalten der Klima nach dem Start sofort erhöht. Dann zieht nach etwa 10 Sekunden der Magnetschalter für den Kompressor an. Maximal 10 Sekunden später läuft der Lüfter an.
Das Problem war also wohl ein Kontaktproblem ...

Gruß, Schrauber

Update nach einem Jahr: Die Klimaanlage lief so den letzten Sommer über, dann war aber wieder Schluss. Nach einem weiteren Umweg habe ich jetzt das Klima-Steuergerät getauscht und sie läuft wieder.