Nur hab' ich das Getriebeproblem, vermutlich ist die Synchronisierung vom 1. Gang hin
und die vom 2. angeschlagen.

Neben dem Vorschlag von Horst noch eine kurzfristige Lösung: Zwischengas.
Beim Runterschalten, speziell vom 3. in den 2., nicht einfach bei getretener Kupplung den Gang reinprügeln. Stattdessen auskuppeln, Gang raus, einkuppeln, kurzen Gasstoß geben (damit die Getriebwelle auf Drehzahl kommt), auskuppeln, Gang einlegen, einkuppeln.
So nimmst du der Synchro die Arbeit ab. Der Schaltvorgang dauert ein wenig länger und man braucht bissl Übung. Bevor es Synchro gab wurde immer so geschalten.

Außerdem - ist eine defekte Klimaanlage ein TÜV-Problem??

Ich denke nicht.

Da winkt die Frage der Wirtschaftlichkeit. Wenn noch Input fehlt, leg' ich nach

Ein Austauschgetriebe liegt bei ~600€. Was da an Stunden anfällt hab ich aber keinen Schimmer.
Der dritte Besitzer (Handwerksbetrieb!) von Vaters altem 1,4l (Alter und km dürften Vergleichbar sein) musste vor ~3 Jahren Getriebe wechseln wegen defektem Fünften, die Karre läuft immer noch.

mfg JAU